中国数学·魏晋南北朝数学

魏晋南北朝是指从三国到隋文帝统一中国之前的时代，在此期间，中国数学的各项成就达到了高峰，而中国数学的传统、特色也有了明确的显示。

三国时代吴人赵爽，字君卿，身世不详。曾为《周髀》作注，在“注” 中，有 “负薪余日，聊观《周髀》”之类语句，依此而论，赵爽当是一介寒儒。他不但补绘了“日高图”及“七衡图”;他还撰写了“勾股圆方图”注、“日高图”注、“七衡图”注;在“勾股圆方图”注中，他用五百余字，论证了勾股原理，并论证了有关勾、股、弦的二十多条命题，在“日高图”注中，他对所谓“日高术”即重差术，也给予几何证明，在“七衡图”注中，他对盖天学说的理论作了说明，所有这些，对后世研讨《周髀》者都有很大裨益。例如“勾股圆方图”注说：“勾、股各自乘，并之为弦实。开方除之，即弦。案弦图又可以勾、股相乘为朱实二，倍之为朱实四。以勾、股之差自相乘为中黄实。加差实一，亦成弦实。”其前一句是重复论述勾股原理，而后一句则是以面积概念证明了勾股原理 (图5)。即：

设勾、股、弦分别为a、b、c，勾股原理即：

其证明过程为：

勾、股相乘为朱实二 ab

倍之为朱实四 2ab

以勾、股之差自相乘为中黄实 (b-a)²

加差实一，亦成弦实 2ab+ (b-a)²＝c²

这是中国对勾股原理第一次严密的证明。

图5

在“日高图”下，赵爽注说：“黄甲与黄乙其实正等。以表高乘两表相去为黄甲之实。以影差为黄乙之广而一，所得，则变得黄乙之袤，上与日齐。按图当加表高，今言八万里者，从表以上复加之。青丙与青己其实亦等。黄甲与青丙相连，黄乙与青己相连，其实亦等”。这是中国古代推求日高的传统方法，一般称为“重差术”，就是在平地上立两根等高的表，当日光照射两表时，两表即有表影。根据两表相对位置、高度、影长便可求得日高。其计算公式为：

日高=[ (表高×两表间距离)

÷两表之影差] +表高

为了说明这一算法的正确性，赵爽给予严密的证明(图6)：

图6

黄甲与黄乙其实正等 □BH=□HN

以表高乘两表相去为黄甲之实 BC×BG=□BH

以影差为黄乙之广而一 □HN÷(GK-BE)=HO

所得则变得黄乙之袤，上与日齐 HO=(BC×BG)÷(GK-BE)

按图当加表高 AR=[(BC×BG)÷(GK-BE)]+BC

今言八万里者，从表上复加之 其中所说“八万里”，是《周髀》所推算的日高数字

青丙与青己其实亦等 □AC=□JM

黄甲与青丙相连，黄乙与青

已相连，其实亦等 □AC+□BH=□HN+□JM

赵爽可能根据这样等积关系证明上述日高公式的：长方形的一条对角线，将长方形分割成等积的两部分，因而可得右上小长方形与左下小长方形等积(图7)。赵爽对日高公式的论证，为重差理论的发展奠定了坚实的基础。

图7

在《周髀算经注》中，赵爽不但在数学方面作了精采的阐述，还写出了珍贵的治学之道;他说“累，重也。若诚能重累思之，则达至微之理”。在数学研究上，他主张“累思”;只有累思才能贯通各种道理。他还说“凡教之道，不愤不启，不悱不发;愤之，悱之，然后启发，……，举一隅，使反之以三也”。在数学的学习中，不仅要独立思考，而且还要举一反三。只有这样才能收到良好的教益。

略晚于赵爽的是刘徽。刘徽是魏、晋期间杰出布衣数学家，其身世不详，经初步考证，当是现今山东人，曾为《九章算术》作过注解; 刘徽《九章算术注》中，在数学理论上、方法上、技巧上、程序上多所建树和发明，为中国数学奠定了传统的理论基础，为中国数学形成了独特的理论体系，其铮铮之词，铿锵有声。

刘徽利用 “出入相补原理”，即图形的分、合、移、补的方法证明平面图形如圭田、邪田、箕田、圆田、宛田、弧田、环田的面积算法，还用以证明勾股原理。《九章·方田》圭田术为“半广以乘正从”。刘徽注称“半广者，以盈补虚为直田也。亦可半正从以乘广。按半广乘从，以取中平之数。故广、从相乘为积步”。刘徽把“圭田”即等腰三角形割补成长方形，依据长方形的面积算法推证“圭田”的面积算法(图8)。故得：

圭田面积=1/2×(广)×(正从)=1/2×(正从)×(广)

图8

《九章·勾股》勾股术为“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”。刘徽注称：“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也。合成弦方之幂，开方除之，即弦也。”其证明方法，就是把勾方之“朱出”部分，补入“朱入”之处;再把股方之“青出”部分，补入“青入”部分;便合成了弦方。开平方求其边长，即得其弦长 (图9)。即：

图9

刘徽还利用面积理论证明了可以与希腊哲学家毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前580—500)、哲学家柏拉图(Plato，公元前427—347)以及数学家欧几里得(Euclid，约公元前330—275)相媲美的整数勾股弦的一般公式。

设勾、股、弦分别为a、b、c，整数勾股弦一般公式为：

a∶b∶c=[m²-(1/2)(m²+n²)]

∶mn∶(1/2) (m²+n²)

关于直线型平面图形的面积算法，刘徽都是以“出入相补原理”证明的。对于圆型平面图形如圆田、弧田的面积算法，刘徽则是利用极限观念和出入相补原理也即所谓“割圆术”证明其面积算法，并求得圆周率较精密之值分别为：

π=157/50=3.14

π=3927/1250=3.1416

对于环田，乃是将环田之周拉直，使变为等积的梯形，再用出入相补原理证明其面积算法。在算法理论上、数学思想上，刘徽的这一套理论和方法是十分珍贵的。

刘徽把环田之周拉直，使之变形为等积的梯形。实际上这是一种“化曲为直”或“以直代曲”的思想，这种思想一方面体现在《九章》商功章“曲池术”下注文中，他说“此池环而不通匝，表如盘蛇而曲之。亦云周者，谓如委谷依垣之周耳。引而伸之，周为袤，求袤之意，环田也”。一方面体现在《九章》勾股章“葛之缠木术”下注文中，他说“以笔管青线宛转有似葛之缠木，解而观之，则每周之间，自有相间成勾股弦”。也即是说，他不但把一些平面曲线即圆弧拉成直线，还把空间曲线即柱面螺旋线拉成直线。刘徽这种思想成为中国数学的一项传统、特色，并影响着后世。

刘徽在推证勾股原理的基础上，还用面积理论推证有关勾、股的各种线段的求法，还用相似勾股形性质推证“勾股容方”、“勾股容圆”的算法，也证明了简单的测量算法。“勾股容方”即是推求直角三角形内接正方形的边长，勾股章第15问为“今有勾五步，股十二步。问勾中容方几何”。术文为“并勾、股为法，勾、股相乘为实，实如法而一，得方一步”。设勾、股分别为a=5，b=12，其内接正方形之边长为x。按术乃得：

x=ab÷(a+b)=5×12÷(5+12)=3+(9/17)

刘徽一方面用相似形性质即比例证明这一算法的正确性，一方面用面积理论证明这一算法的合理性。“勾股容圆”即是推求直角三角形内切圆的直径，勾股章第16问为“今有勾八步，股十五步。问勾中容圆，径几何”。术文为“八步为勾，十五步为股，为之求弦。三位并之为法，以勾乘股，倍之为实。实如法得径一步”。设勾、股分别为a=8，b=15，弦为c，内切圆直径为d，按术乃得：

d =2ab÷ (a+b+c)

＝2×8×15÷ (8+15+17) =6

其中c=＝17。刘徽是一方面用“出入相补原理”证明此算法，一方面用相似形性质推证此算法，在注文之末，又给予推求内切圆直径的四种算法。即：

d=a-(c-b)

d=b-(c-a)

d=(a+b)-c

刘徽对于直线型柱体如城、垣、堤、沟、堑、渠的体积或容积算法，也以“出入相补原理”予以证明;他把“出入相补原理”作为一条普遍原理，几乎应用于全部的几何中。刘徽又利用三种基本几何体，即堑堵、阳马、鳖臑，先证明三种基本几何体的体积算法，再把直线型非柱体的立体分割为三种基本几何体，然后证明其体积或容积的算法。可见，他把三种基本几何体作为多面体体积算法的理论关键。例如，他推证方亭体积，即正四棱台体积时，把方亭分割为一长方体、四堑堵、四阳马，由长方体、阳马、鳖臑的体积算法，推证方亭的体积算法为：

方亭= (1/3) (上方²+上方×下方+下方²) ×高

其中“上方”、“下方”分别是正四棱台的上、下底边之长。又如他把方锥，即正四棱锥分割为四个阳马，由阳马的体积算法，推证方锥的体积算法为：

方锥= (1/3) ×下方²×高

其中“下方”即是方锥下底之边长。再如，对于羡除、刍甍、刍童、盘池等立体，也都是分割为若干个三种基本几何体进行论证的。

刘徽在推证圆型立体体积算法时，采用了“截割原理”，即是在圆柱、圆锥、圆台上，分别作一外切方柱、方锥、方台，以圆型立体与其外切方型立体体积之比为π∶4，于是，可从方型立体的体积算法推证得圆型立体的体积算法。如刘徽推证圆亭体积，即正圆台的体积时，其算法为：

圆亭=(1/3)(1/4π)(上周²+上周×下周

+下周²⁾×高

＝(π/4)方亭

＝(π/4)[(1/3)(上方²+上方×下方

+下方²⁾×高]

其中“上周”、“下周”分别是圆亭上、下底之周长。而“上方”、“下方”分别是圆亭外切正四棱台上底、下底一边之长。在《九章》中，一般取圆率为π=3。又如他推证圆锥体积，即正圆锥体积时，其算法为：

圆锥= (1/3) (1/4π) (下周²⁾ ×高

＝(π/4) 方锥= (π/4) [ (1/3) ×

(下方²⁾ ×高]

其中“下周”即圆锥下底之周长，“下方”即圆锥外切方锥下底之边长。刘徽在推求圆型立体体积运算中，提出圆柱、圆亭、圆锥、与其外切方柱、方亭、方锥体积之比为π∶4，这是十分正确的论断，不但对推算圆型立体体积给予了一条捷径，而且是中国数学的一项突出成就。在推求球体积问题上，刘徽取一正方体，在正方体内作相互垂直的两圆柱面，称两圆柱的公共部分为“牟合方盖”，再在“牟合方盖”里作一内切球，他深知“牟合方盖”与其内切球体积之比为4∶π。虽然他未能求得球体积的算法，但提出“牟合方盖”与其内切球体积之比，在算法理论上、数学思想上都是十分珍贵的。

在代数方面，刘徽也有不少杰出的贡献。例如，他对分数、正负数及其运算都有独到的论述，对于某些无理数即二次根数也有逼近的描述。在实数领域中，可以说中国古代已形成基本的体系。《九章》对“方程”即所谓线性方程组的解法，原是“直除法”，即是连续相减的消元法，刘徽把“直除法”推广为“互乘对减”的加减消元法，并提出消去常数项法;使线性方程组的解法达到尽善尽美的地步。对于衰分算法、等比级数、等差级数、调和级数等项，都有创新工作。他还明确地给予等差级数的求和公式、通项公式、公差公式。即：

S_n＝[a₁+(n-1)(d/2)]×n

＝n·a₁+[n(n-1)]×(d/2)

a_n＝a₁+ (n-1) ×d

d= (a_m-a_n) ÷ (m-n)

其中“S_n”、“a₁”、“n”、“d”、“a_n”以及“a_m”分别是等差级数的前n项之和、首项、项数、公差、第n项以及第m项。

刘徽对数学名词改变了“约定俗成”的惯例，对一些名词给予明确的定义，如把“率”定义为“凡数相与者，谓之率”。“等除法实，相与率也”。即是说，凡数与数之比，称之为“率”，约简两数之比，则称为“相与率”。并把“率”概念几乎应用到所有算法之中，作为各种算法的主线。给正负数所下定义为：“今两算得失相反，要令正负以名之。”还给“方程”下了正确的定义，既给出“方程”有确切解的条件，又给出 “方程”的同解理论，并创造性的给出 “方程”的新解法。此外，刘徽还对幂、齐同通、列衰、开平方、开立方、鳖臑、阳马、堑堵、勾、股、弦等数学名词都给出正确的定义。刘徽的这些定义，不但没有含混不清之词，也没有循环定义之举，都合于逻辑，因而成为演绎论证的理论依据。刘徽在推理演绎与证明方法上，既有归纳，也有演绎;既有综合法，也有分析法，还有反证法; 在逻辑方面是十分丰富的。在中国数学理论的发展上，形成了第一次高峰。

西汉时期，主张盖天学说的天文学家创造了测量日高、远的方法，称之为重差术，到刘徽时代，几乎失传。刘徽乃潜心研究测量原理，使重差术加以发展，并由两次测望推广至三次、四次测望，编撰九道测量问题，缀于《九章算术》之终。他说“辄造《重差》，并为注解，以究古人之意，缀于《勾股》之下。度高者重表，测深者累矩，孤离者三望，离而又旁求者四望”。唐代，李淳风为国子监审定数学教材，使另行单本，因其第一问为“今有望海岛”，故称之为《海岛算经》。可见刘徽在测量理论上的成就是卓著的。

生活在南北朝宋、齐时代的著名数学家祖冲之及其子祖暅，对数学有很出色的贡献，例如他们父子曾作《缀术》一书，可惜早已失传。保留至今的，只有祖冲之所创造的圆周率，即：

介于盈朒二限：3.1415926<π<3.1415927

密率：π=355/113

约率：π=22/7

还有其子祖暅解决了刘徽所提出的“牟合方盖”体积问题，从而得到球体积的巧妙证法。

在南北朝成书的数学名著有《孙子算经》及《张邱建算经》。《孙子算经》三卷，是一部数学普及著作，其中著名的问题有卷下“鸡兔同笼”问题和“物不知数”问题。“鸡兔同笼”题称：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雉兔各几何。”“术曰：上置三十五头，下置九十四足。半其足得四十七。以少减多，再命之，上三除下四，上五除下七。下有一除上三，下有二除上五，即得。又术曰：上置头，下置足。半其足，以头除足，以足除头，即得。”表示以现代形式，即：