沈(括)学·《梦溪笔谈》的学术价值、研究·数学
在祖国的科学进展上，沈括在数学方面也取得了杰出成就。他发展了九章算术以来的等差级数，创造了一种新的高等级数——“隙积术”，用以求累层堆积的瓮、缸、瓦盆之类物件的体积总和(见第301条)。隙积术，即堆垛之术，清末数学家顾观光(1799—1862) 曾说： “堆垛之术详于杨 (辉)、朱(世杰)氏二书，而创始之功，断推沈氏。”(顾观光《九数存古》卷五)设堆垛体的上下宽分别为a和c，上下长分别为b和d，高为h，依《笔谈》原文所述的计算法译为现代数学公式是：
堆垛体数目
数学史家李俨(1892—1963)和许莼舫，曾从近代数学的角度证明(1)式的正确性(李俨《中算史论》第一集，中国科学院出版，1954年，第336页;许莼舫《中算家的代数学研究》，开明书店，1952年第二版，第28—29页)。可惜《笔谈》未交代该式的证明过程，许莼舫和李继闵两先生各自用一种演段移补法推出过(1)式(许莼舫《古算趣味》，开明书店，1951年第三版，第87—91页)。以新的断句补证了 (1) 式，以便接近 《笔谈》原意。
沈括的隙积术是《九章算术》中“刍童术”的发展，和后世西方的“积弹”问题相当，它的出现，奠定了高阶等差级数求和问题的基础。沈括以后，南宋钱塘人杨辉(约十三世纪)在《详解九章算法》，元代朱世杰在《四元玉鉴》中，将沈括的隙积术推广发展为更一般的高阶等差级数求和的 “垛积术”。
《笔谈》第301条又说：“凡圆田，既能拆之，须使会之复圆，古法惟以中破圆法拆之，其失有及三倍者。予别 (无析)〔为拆〕会之术，置圆田，径半之以为弦，又以半径减去所割数，余者为股各自乘，以股除弦，余者开方除为勾，倍之为割田之直径。以所割之数自乘(退一位)倍之，又以圆径除所得，加入直径，为割田之弧。再割亦如之，减去已割之(数)〔弧〕，则再割之 (数) 〔弧〕也。”
此法即沈括的“会圆术”，译成现代数学语言就是已知圆的直径d和弓形的高b，求弓形的弦长c和弧长1的方法。
沈括的计算公式是：
(2)式可用勾股定理证明，(3)式是我国数学史上第一个求弧长的近似公式，当是沈括根据《九章算术》“方田”章内所载的弓形面积的近似公式： S=(bc+b2)推出的。后来，元朝天文学家郭守敬(1231—1316)加以发展，应用于黄道积度和时差的计算(王锦光、闻人军《沈括的科学成就与贡献》)。
除了“隙积术”和“会圆术”之外，沈括在天文学计算问题上曾经提出了“圆法”和“妥法”，涉及到球面三角学问题，对此，李志超认为这可能是沈括从几何模型出发，用他的会圆术那类方法发展出的新算法，“圆法”、“妥法”也许是一种粗疏的球面三角法 (李志超 《沈括的天文研究 (一)，刻漏和妥法》，《中国科学技术大学学报》，1978年第8卷第一期)。“圆法”和“妥法”是数、形结合的新的数学方法，它的含义尚有待于进一步探索。
由《笔谈》的记载可知，沈括曾用数学知识研究军粮的运输，提出了“运精之法”，其中含有运筹思想的萌芽。他研究过围棋局总数，用组合数学的方法计算出棋局总数为3361，钱宝琮先生指出： “ (沈括)不自觉地运用了指数定律。”(钱宝琮《宋元数学史论文集》，科学出版社，1966年，第269页)
沈括的数学成就在数学史上占有重要的地位。早在本世纪二十年代，日本数学史家三上义夫就对沈括的数学成就作过很高的评价。他说：“予以沈括为中国算学之模范的人物或理想的人物，诚克当也。”三上义夫认为沈括“多艺多能”，且有 “经世才”，在世界上罕有其匹 (三上义夫著、林科棠译《中国算学之特色》，《万有文库》本，第8—9页)。