有趣的“欧拉问题”
无独有偶,和牛顿一样,大数学家欧拉也很重视数学教育。他经常亲自到中学去讲授数学知识,也为学生编写数学课本。尤其感人的是,1770年,年迈的欧拉双目都已失明了,仍然念念不忘给学生编写《关于代数学的全面指南》。这本著作出版以后,很快就被译成多种外国文字,直到20世纪,有些学校仍然用它作基本教材。
为了搞好数学普及教育,欧拉潜心研究了许多初等数学问题,还编了不少有趣的数学题呢!也许因为欧拉是历史上最伟大的数学家之一,这些题目流传特别广。例如,在各个国家的数学课外书籍里,都能见到下面这道叫做“欧拉问题”的数学题。
两个农妇共带了100只鸡蛋去集市上出售。两人的鸡蛋数目不一样,赚的钱却一样多。第一个农妇对第二个农妇说:“如果我有你那么多的鸡蛋,我就能赚15枚铜币。”第二个农妇回答说:“如果我有你那么多的鸡蛋,我就只能赚枚铜币。”
问两个农妇各带了多少只鸡蛋?
历史上,像这样由对话形式给出等量关系的题目并不少见。例如在公元前3世纪时,古希腊数学家欧几里得曾编了一道驴和骡对话的习题:
驴和骡驮着货物并排走在路上,驴不住地抱怨驮的货物太重,压得受不了。骡子对它说:“你发什么牢骚啊!我驮的货物比你更重。如果你驮的货物给我1口袋,我驮的货物就比你重1倍;而我若给你1口袋,咱俩才刚一般多。”
问驴和骡各驮了几口袋货物?
12世纪时,印度数学家婆什迦罗也曾编了一道类似的习题:
某人对一个小朋友说:“如果你给我100枚铜币,我将比你富有2倍。”小朋友回答说:“你只要给我10枚铜币,我就比你富有6倍。”问两人各有多少铜币?
但是,“欧拉问题”却编出了新意,由于两种假设的结果无倍数关系可言,使得题目中蕴含的等量关系更加难觅行踪,解题途径与上述两题也不相同。
下面是欧拉提供的一种解法。
假设第二个农妇的鸡蛋数目是第一个农妇的m倍。因为最后两人赚得的钱一样多。所以,第一个农妇出售鸡蛋的价格必须是第二个农妇的m倍。
如果在出售之前,两个农妇已将所带的鸡蛋互换,那么,第一个农妇带的鸡蛋数目和出售鸡蛋的价格,都将是第二个农妇的m倍。也就是说,她赚得的钱数将是第二个农妇的m2倍。
于是有。
舍去负值后得m=3/2,即两人所带鸡蛋数目之比为3∶2。这样,由于鸡蛋总数是100,就不难算出题目的答案了。
想出这种巧妙的解法是很不容易的,连一贯谨慎的欧拉也忍不住称赞自己的解法是“最巧妙的解法”。